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LCS(最长公共子序列)求解

News liuzhiping138 69℃ 0评论

废话

因为四月份的蓝桥杯省赛拿了省一等奖,也报了国赛,加上6月2号的ACM,所以在这段时间里面要搞搞算法。
这段时间的面试(只面了京东(校招)和头条(内推)),暴露出来的是Java基础了解的不够深入,同时算法一直以来都是我的薄弱环节,希望这两个比赛能够让我得到一点提升。
这篇文章是为了我能够记住解题的思想同时也算是整理一下思路。

什么是LCS

LCS(Longest Common Subsequence)——最长公共子序列

定义

一个序列S任意删除若干个字符得到新序列T,则T叫做S的子序列。
两个序列X和Y的公共子序列中,长度最长的那个,定义为X和Y的最长公共子序列。

这里主要区分一下子序列和子串(最长公共子序列和最长公共子串),最长公共字串要求连续
字符串 “13455” 与 “245576” 的最长公共子序列为“455”。
字符串“acdfg”与“adfc”的最长公共子序列为“adf”。

LCS的意义

主要运用于比对的地方,比如图形的相似处理、媒体流的相似比较等。生物学家常常利用该算法景象基因序列比对,由此推测序列的结构、功能和演化过程。
LCS可以用来描述两段文字之间的“相似度”,即它们的雷同程度,从而能够用来判断抄袭。另一方面,对一段文字进行修改之后,计算改动前后文字的最长公共子序列,将除此子序列外的部分提取出来,这种方法判断修改的部分,往往十分准确。

求解——暴力法

最简单的想法便是列出字符串X的所有子序列,同时列出字符串Y的所有子序列,然后求出这两个字符串的所有子序列相同且最长的一个,便是最长公共子序列。
加入字符串X的长度是m,字符串Y的长度是n,那么X共有/(2^m/)个不同子序列,Y有/(2^n/)个不同子序列,同时进行遍历,那么时间复杂度为O(/(2^m*2^n/))。
显然,这是不可取的。

LCS解法探索

在这里,我们先做几个定义:

假定字符串X,长度为m,从1开始数; 假定字符串Y,长度为n,从1开始数; Xi=<x1,x2,···,xi>即X序列的前i个字符(1<i<m); Yj=<y1,y2,···,yj>即Y序列的前j个字符(1<j<n>); LCS(X,Y)为字符串X和Y的最长公共子序列,即Z=<z1,z2,···,zk>; 

事实上,X和Y的可能存在多个子串,长度相同并且最大,因此,LCS(X,Y)严格的说,是个字符串集合。即:Z∈ LCS(X , Y)

在这里我们进行如下分析:

第一种情况:/(x_m=y_n/)(最后一个字符相同)

则:/(X_m/)与/(Y_n/)的最长公共子序列/(Z_k/)的最后一个字符必定是/(X_m/)(/(Y_n/));
此时,/(Z_k/)=/(X_m/)=/(Y_n/)
LCS(/(X_m/),/(Y_n/))=LCS(/(X_{m-1}/),/(Y_{n-1}/))+/(X_m/)

举例:

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X B D C A B A
Y A B C B D A B

对于上面的字符串X和Y,
/(x_3=y_3/)=’C’,则:LCS(BDC,ABC)=LCS(BD,AB)+‘C’
/(x_5=y_4/)=’B’,则:LCS(BDCAB,ABCB)=LCS(BDCA,ABC)+‘B’

第二种情况:/(x_m{/ne}y_n/)

此时又分为两种情况:

  1. LCS(/(X_m/),/(Y_n/))=LCS(/(X_{m-1}/), /(Y_n/))
  2. LCS(/(X_m/),/(Y_n/))=LCS(/(X_m/), /(Y_{n-1}/))

证明:
令/(Z_k/)=LCS(/(X_m/),/(Y_n/));
由于/(x_m{/ne}y_n/),则/(z_k{/ne}x_m/)与/(z_k{/ne}y_n/)至少有一个必然成立,不妨假定/(z_k{/ne}x_m/)(/(z_k{/ne}y_n/)的分析与之类似)。因为/(z_k{/ne}x_m/),则最长公共子序列/(Z_k/)是/(X_{m-1}/)和/(Y_n/)得到的,即: /(Z_k/)=LCS(/(X_{m-1}/), /(Y_n/))同理,若/(z_k{/ne}y_n/),则/(Z_k/)=LCS(/(X_m/), /(Y_{n-1}/))

即:若/(x_m{/ne}y_n/),则:
LCS(/(X_m/),/(Y_n/))= max{LCS(/(X_{m-1}/), /(Y_n/)),LCS(/(X_m/), /(Y_{n-1}/))}

举例:

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X B D C A B A
Y A B C B D A B

对于字符串X和字符串Y:
/(x_2{/ne}y_2/),则:LCS(BD,AB)=max{ LCS(BD,A), LCS(B, AB) }
/(x_4{/ne}y_5/),则:LCS(BDCA,ABCBD)=max{ LCS(BDCA,ABCB), LCS(BDC,ABCBD) }

因此:
LCS(最长公共子序列)求解

编码实现

我们使用一个二位数组用来C[m,n]来存储子序列的长度,c[i,j]记录了/(X_i/)和/(Y_j/)的最长公共子序列的长度。
当i=0或者j=0是,空序列是/(X_i/)和/(Y_j/)的最长公共子序列,故c[i,j]=0。

LCS(最长公共子序列)求解

使用另一个二维数组B[m,n],用于标记c[i,j]的值是由哪个子问题的解得到的。即c[i,j]是由c[i-1,j-1]+1或者c[i-1,j]或者c[i,j-1]的哪一个得到的。取值范围为Left、Top、LeftTop三种情况。

举例:
X=< A,B,C,B,D,A,B >
Y=< B,D,C,A,B,A >
最终得到的两个二维数组如图所示:
LCS(最长公共子序列)求解

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public class LCS {
private String str1 = "BDCABAGF";
private String str2 = "ABCBDABFG";

private static final int TOP = 1;
private static final int LEFT = 2;
private static final int LEFT_TOP = 3;

public String lcs() {
int[][] C = new int[str2.length() + 1][str1.length() + 1];
int[][] M = new int[str2.length() + 1][str1.length() + 1];
for (int i = 1; i <= str2.length(); i++)
for (int j = 1; j <= str1.length(); j++) {
char x = str2.charAt(i - 1);
char y = str1.charAt(j - 1);
if (x == y) {
C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + 1;
M[i][j] = LEFT_TOP;
} else {
int max = Integer.max(C[i - 1][j], C[i][j - 1]);
if (max == C[i - 1][j])
M[i][j] = TOP;
else
M[i][j] = LEFT;
C[i][j] = max;
}
}
StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();
int i = str2.length();
int j = str1.length();
while (M[i][j] != 0) {
if (M[i][j] == LEFT_TOP) {
stringBuilder.append(str2.charAt(i - 1));
}
if (M[i][j] == LEFT_TOP) {
i--;
j--;
} else if (M[i][j] == LEFT)
j--;
else if (M[i][j] == TOP)
i--;
}
return stringBuilder.toString();
}

public static void main(String[] args) {
LCS lcs = new LCS();
System.out.println(lcs.lcs());
}
}

在这里,lcs()返回的是最长的公共子序列,但是我没有做处理,此时返回的字符串是反向的,因为我们最后在通过方向数组寻找子序列的时候,是从后往前,所以这里的字符串是反向的。
在这里给出伪代码实现:

LCS(最长公共子序列)求解
LCS(最长公共子序列)求解

说在后面

在这里,这个算法依旧可以继续优化,但是由于我还没有搞清楚优化的原理,所以暂时不写,如果有需要的可以查看参考链接获取更多信息。

参考链接

十分钟搞定LCS – 七月在线

转载请注明:逗比根据地 » LCS(最长公共子序列)求解

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