废话

因为四月份的蓝桥杯省赛拿了省一等奖，也报了国赛，加上6月2号的ACM，所以在这段时间里面要搞搞算法。
这段时间的面试（只面了京东（校招）和头条（内推）），暴露出来的是Java基础了解的不够深入，同时算法一直以来都是我的薄弱环节，希望这两个比赛能够让我得到一点提升。
这篇文章是为了我能够记住解题的思想同时也算是整理一下思路。

什么是LCS

LCS(Longest Common Subsequence)——最长公共子序列

定义

一个序列S任意删除若干个字符得到新序列T，则T叫做S的子序列。
两个序列X和Y的公共子序列中，长度最长的那个，定义为X和Y的最长公共子序列。

这里主要区分一下子序列和子串（最长公共子序列和最长公共子串），最长公共字串要求连续
字符串 “13455” 与 “245576” 的最长公共子序列为“455”。
字符串“acdfg”与“adfc”的最长公共子序列为“adf”。

LCS的意义

主要运用于比对的地方，比如图形的相似处理、媒体流的相似比较等。生物学家常常利用该算法景象基因序列比对，由此推测序列的结构、功能和演化过程。
LCS可以用来描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来判断抄袭。另一方面，对一段文字进行修改之后，计算改动前后文字的最长公共子序列，将除此子序列外的部分提取出来，这种方法判断修改的部分，往往十分准确。

求解——暴力法

最简单的想法便是列出字符串X的所有子序列，同时列出字符串Y的所有子序列，然后求出这两个字符串的所有子序列相同且最长的一个，便是最长公共子序列。
加入字符串X的长度是m，字符串Y的长度是n，那么X共有/(2^m/)个不同子序列，Y有/(2^n/)个不同子序列，同时进行遍历，那么时间复杂度为O(/(2^m*2^n/))。
显然，这是不可取的。

LCS解法探索

在这里，我们先做几个定义：

假定字符串X，长度为m，从1开始数； 假定字符串Y，长度为n，从1开始数； Xi=<x1,x2,···,xi>即X序列的前i个字符(1<i<m); Yj=<y1,y2,···,yj>即Y序列的前j个字符(1<j<n>); LCS(X,Y)为字符串X和Y的最长公共子序列，即Z=<z1,z2,···,zk>;

事实上，X和Y的可能存在多个子串，长度相同并且最大，因此，LCS(X,Y)严格的说，是个字符串集合。即：Z∈ LCS(X , Y)

在这里我们进行如下分析：

第一种情况：/(x_m=y_n/)(最后一个字符相同)

则：/(X_m/)与/(Y_n/)的最长公共子序列/(Z_k/)的最后一个字符必定是/(X_m/)(/(Y_n/));
此时，/(Z_k/)=/(X_m/)=/(Y_n/)
LCS(/(X_m/),/(Y_n/))=LCS(/(X_{m-1}/),/(Y_{n-1}/))+/(X_m/)

举例：

	1	2	3	4	5	6	7
X	B	D	C	A	B	A
Y	A	B	C	B	D	A	B

对于上面的字符串X和Y，
/(x_3=y_3/)=’C’，则：LCS(BDC,ABC)=LCS(BD,AB)+‘C’
/(x_5=y_4/)=’B’，则：LCS(BDCAB,ABCB)=LCS(BDCA,ABC)+‘B’

第二种情况：/(x_m{/ne}y_n/)

此时又分为两种情况：

LCS(/(X_m/),/(Y_n/))=LCS(/(X_{m-1}/), /(Y_n/))
LCS(/(X_m/),/(Y_n/))=LCS(/(X_m/), /(Y_{n-1}/))

证明：
令/(Z_k/)=LCS(/(X_m/),/(Y_n/))；
由于/(x_m{/ne}y_n/)，则/(z_k{/ne}x_m/)与/(z_k{/ne}y_n/)至少有一个必然成立，不妨假定/(z_k{/ne}x_m/)（/(z_k{/ne}y_n/)的分析与之类似）。因为/(z_k{/ne}x_m/)，则最长公共子序列/(Z_k/)是/(X_{m-1}/)和/(Y_n/)得到的，即： /(Z_k/)=LCS(/(X_{m-1}/), /(Y_n/))同理，若/(z_k{/ne}y_n/)，则/(Z_k/)=LCS(/(X_m/), /(Y_{n-1}/))

即：若/(x_m{/ne}y_n/)，则：
LCS(/(X_m/),/(Y_n/))= max{LCS(/(X_{m-1}/), /(Y_n/)),LCS(/(X_m/), /(Y_{n-1}/))}

举例：

	1	2	3	4	5	6	7
X	B	D	C	A	B	A
Y	A	B	C	B	D	A	B

对于字符串X和字符串Y：
/(x_2{/ne}y_2/)，则：LCS(BD,AB)=max{ LCS(BD,A), LCS(B, AB) }
/(x_4{/ne}y_5/)，则：LCS(BDCA,ABCBD)=max{ LCS(BDCA,ABCB), LCS(BDC,ABCBD) }

因此：
LCS（最长公共子序列）求解

编码实现

我们使用一个二位数组用来C[m,n]来存储子序列的长度，c[i,j]记录了/(X_i/)和/(Y_j/)的最长公共子序列的长度。
当i=0或者j=0是，空序列是/(X_i/)和/(Y_j/)的最长公共子序列，故c[i,j]=0。

LCS（最长公共子序列）求解

使用另一个二维数组B[m,n]，用于标记c[i,j]的值是由哪个子问题的解得到的。即c[i,j]是由c[i-1,j-1]+1或者c[i-1,j]或者c[i,j-1]的哪一个得到的。取值范围为Left、Top、LeftTop三种情况。

举例：
X=< A，B，C，B，D，A，B >
Y=< B，D，C，A，B，A >
最终得到的两个二维数组如图所示：
LCS（最长公共子序列）求解

public class LCS {
 private String str1 = "BDCABAGF";
 private String str2 = "ABCBDABFG";

 private static final int TOP = 1;
 private static final int LEFT = 2;
 private static final int LEFT_TOP = 3;

 public String lcs() {
  int[][] C = new int[str2.length() + 1][str1.length() + 1];
  int[][] M = new int[str2.length() + 1][str1.length() + 1];
  for (int i = 1; i <= str2.length(); i++)
   for (int j = 1; j <= str1.length(); j++) {
    char x = str2.charAt(i - 1);
    char y = str1.charAt(j - 1);
    if (x == y) {
     C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + 1;
     M[i][j] = LEFT_TOP;
    } else {
     int max = Integer.max(C[i - 1][j], C[i][j - 1]);
     if (max == C[i - 1][j])
      M[i][j] = TOP;
     else
      M[i][j] = LEFT;
     C[i][j] = max;
    }
   }
  StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();
  int i = str2.length();
  int j = str1.length();
  while (M[i][j] != 0) {
   if (M[i][j] == LEFT_TOP) {
    stringBuilder.append(str2.charAt(i - 1));
   }
   if (M[i][j] == LEFT_TOP) {
    i--;
    j--;
   } else if (M[i][j] == LEFT)
    j--;
   else if (M[i][j] == TOP)
    i--;
  }
  return stringBuilder.toString();
 }

 public static void main(String[] args) {
  LCS lcs = new LCS();
  System.out.println(lcs.lcs());
 }
}